Conversione delle Basi Numeriche
Un Sistema di Numerazione è un modo di rappresentare i Numeri attraverso un insieme di Simboli o Cifre.
Abbiamo introdotto il concetto di numero e simboli chiamati anche cifre.
Perciò un numero è composto da queste cifre o simboli.
I Sistema di Numerazione si dividono in:
Additivi: sono basati su una legge additiva applicata a determinati simboli fondamentali.
Ogni numero è rappresentato da una successione di simboli ed il suo valore è dato dalla somma dei valori di ciascuno simbolo.
In questi sistemi non si ha il concetto di Zero.
Esempi di sistema di numerazione Additivi sono il Romano e l'Egizio.
Esaminiamo il Sistema di Numerazione Romano:
Esso ha i seguenti simboli: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
Per rappresentare un numero, ad esempio 3 bisogna scrive III ovvero la somma di tre volte I che ha valore 1.
I simboli possono essere ripetuti consecutivamente, al massimo tre volte come abbiamo visto sopra.
Se un simbolo con valore minore compare a sinistra o destra di un altro, esso va a sommare o sottrarre il suo valore al simbolo con valore maggiore, vediamo un esempio:IV corrisponde a 4 (5-1)
VI corrisponde a 6 (5+1)
IX corrisponde a 9 (10-1)
XI corrisponde a 11 (10+1)
XL corrisponde a 40 (50-10)
LX corrisponde a 60 (50+10)
XC corrisponde a 90 (100-10)
CX corrisponde a 110 (100+10)
CD corrisponde a 400 (500-100)
DC corrisponde a 600 (500+100)
CM corrisponde a 900 (1000-100)
MC corrisponde a 1100 (1000+100)
Solo I, X e C possono essere usati in senso sottrattivo.
Per aiutarci nella comprensione: se la concatenazione di simboli dà luogo ad una stinga che è Crescente (ovvero prima valori piccoli e poi valori grandi) allora i simboli vanno sottratti se è Decrescente (ovvero prima valori grandi e poi valori piccoli) allora i simboli vanno sommati.
Facciamo qualche altro esempio:
XVIII
Decrescente
10+5+3
= 18
CXV
Decrescente
100+10+5
= 115
DLII
Decrescente
50+50+2
= 552
MMXVIII
Decrescente
1000+1000+10+5+3
= 2018
MDCCCXLVIII
Decrescente + Crescente
1000+500+100+100+100+(50-10)+5+3
= 1848
MCMLXVIII
Decrescente + Crescente
1000+(100-1000)+50+10+5+3
= 1968
Posizionali: la posizione della cifra all'interno di un numero determina il suo valore.
Il primo di questi sistemi è nato in india e si diffuso mediante gli arabi in tutta Europa.
In questi sistemi si ha il concetto di Zero (che colmava i vuoti in un sistema posizionale).
Un esempio di sistema di numerazione Posizionale è il Sistema Numerico Decimale.
Esso utilizza dieci Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e ogni Numero è composto da queste dieci Cifre.
Le posizioni all'interno di un numero, a partire da destra, sono le unità, le decine, le centinaia, le migliaia etc...
Perciò la cifra 4 ha un suo valore intrinseco, che però cambia rispetto alla posizione che occupa all'interno del numero stesso:
Se si trovasse nella posizione delle unità avrebbe valore 4.
Se si trovasse, invece, nella posizione delle decine avrebbe valore 40,
mentre se si trovasse nella posizione delle centinaia avrebbe valore 400, e così via.
Abbiamo capito che un numero è formato da cifre, le quali assumono valori differenti in base alla posizione occupata all'interno del numero stesso.
Perciò a parità di cifre questi numeri hanno valori differenti:
451
154
541
Per Base Numerica si intende l'insieme delle Cifre ed il Sistema di Numerazione adottato.
Durante la storia l'uomo ha utilizzato varie Basi Numeriche:
Venne usata all'inizio la Base 5 in quanto si utilizzava la mano come metro di misura.
Venne poi usata la Base 10 in quanto si utilizzavano le due mani come metro di misura.
Poi è stata usata la Base 12 (detto anche sistema duodecimale o dozzinale) in quanto si utilizzavano le falangi o le nocche della mano (escluso il pollice) come metro di misura. Essa era usata da Sumeri e Assiro-babilonesi come misura per le lunghezze, le superfici, i volumi. Il sistema numerico con Base 12 ha un numero maggiore di divisori interi rispetto a uno in Base 10; infatti quest'ultimo ha come divisori solo 1, 2, 5, 10; mentre il sistema Base 12 può essere diviso per 1, 2, 3, 4, 6 e 12; e risultava più adatto a fare le divisioni.
Per questo motitvo 12 è un numero abbondante ovvero un numero naturale minore della somma dei suoi divisori interi (escludendo sé stesso).
Nel sistema anglofono vediamo che 11 e 12 hanno un nome ben preciso eleven e twelve, diversamente dal nostro che si limita a sommare 1 a dieci ad esesmpio un+dieci=undici, duo+dieci=dodici, tre+dieci=tredici perciò possiamo pensare che nella cultura anglofona ci sia stata una presenza del sistema dozzinale.
Abbamo esempi di Base 12 nella suddivisione dell'anno in 12 mesi e del giorno in 12 ore.
Nelle unità di misura delle lunghezze:1 linea = 12 punti.
1 pollice = 12 linee.
1 piede = 12 pollici.
Nelle unità di misura di peso:
1 libbra = 12 once.
Nelle unità misure monetarie:
1 scellino = 12 pence.
Lo scellino corrisponde ad un siclo della Mesopotamia.
Anche nella Bibbia il popolo eletto era formato dalle 12 tribù d'Israele.
Poi è stata usata la Base 20 Vigesimale in quanto utilizzava le due mani e i piedi come metro di misura. In Francese è rimasto il termine quatre-vingts ovvero quattro volte venti per dire 80, perciò possiamo pensare che nella cultura francofona ci sia stata una presenza del sistema vigesimale.
Nelle unità misure monetarie:
1 libbra = 20 scellini
1 lira = 20 solidi
Il solido era una moneta d'oro coniata nell'Impero romano.
Poi è stato introdotto un sistema numerico con Base 60 che ha molti divisori, ad esempio i primi 6 numeri interi e di cui è il minimo comune multiplo, inoltre 60 è il minimo comune multiplo di 12 e 10. Ed è la fusione delle due basi Base 5 e 12 (falangi o nocche delle quattro dita) infatti 12x5=60.
I suoi divisori sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. È un numero abbondante poichè la somma dei divisori (escluso il numero stesso) è 108 > 60.
Questo sistema è stato introdotto dai Babilonesi i quali davano un grande valore all'astronomia e alla matematica e loro dividevano l'anno in 360 giorni (12 mesi lunari x 30 giorni); il loro zodiaco era composto da 6 costellazioni; perciò il sole restava in ogni costellazione 60 giorni; dividendo il cerchio in sei parti uguali di 60° ognuna.
Nelle unità misure monetarie:
60 sicli = 1 mina. La mina ebraica.
60 mine = 1 talento. Il Talento ebraico.
Sistema Decimale: di cui abbiamo discusso in precedenza.
Sistema Binario: utilizza due Cifre: 0, 1 ed è anch'esso Posizionale.
Sistema Ottale: utilizza otto Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ed è anch'esso Posizionale.
Sistema Dozzinale: utilizza dodici Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, E (X dal numero romano 10 ed E dall'inglese Eleven o 11) ed è anch'esso Posizionale.
Sistema Esadecimale: utilizza sedici Cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ed è anch'esso Posizionale.
Comunque si affermò il sistema a Base 10 o Decimale forse per la sua semplicità. E tuttora è quello più utilizzato.
Recentemente si sono sviluppate Basi Numeriche adatte non solo agli esseri umani, ma anche alle macchine come computer, infatti abbiamo la Base Binaria, Ottale ed Esadecimale.
Vediamo le caratteristiche di quest'ultime:
Vediamo come fare delle conversione tra questi sistemi:
Possiamo vedere come sono più facili da ricordare le tabelline con il cambio di base:
